行列の階数 例題集

$Q1$.
次の行列の階数を求めなさい。

(1) $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 4 \\ -3 & 5 & 4 \end{pmatrix}$
(2) $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
(3) $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 4 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}$
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(1) ${\rm rank}~A_1 = 3$
(2) ${\rm rank}~A_2 = 2$
(3) ${\rm rank}~A_3 = 1$

行基本変形を施していき「$0$ でない成分を含む行」の数を数えます。

(1)
$2$ 行目から $1$ 行目を引き, $3$ 行目に $1$ 行目の $3$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 7 \\ 0 & 11 & -5 \end{pmatrix}$

$3$ 行目に $2$ 行目の $11$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 72 \end{pmatrix}$

$0$ でない成分を含む行が $3$ つあるので, $A_1$ の階数は $3$ になります。

(2)
$2$ 行目から $1$ 行目の $4$ 倍を引き, $3$ 行目に $1$ 行目の $3$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

$3$ 行目に $2$ 行目の $2$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$0$ でない成分を含む行が $2$ つあるので, $A_2$ の階数は $2$ になります。

(3)
$2$ 行目に $1$ 行目の $2$ 倍を加え, $3$ 行目に $1$ 行目の $3$ 倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$0$ でない成分を含む行が $1$ つあるので, $A_3$ の階数は $1$ になります。

$Q2$.
次の行列の階数が $2$ である時, $a$ の値を求めなさい。ただし $a \gt 0$ とする。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & a & 5 \\ a & a & -2 \end{pmatrix}$
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$a=4$

行列の $2$ 行目に $1$ 行目の $3$ 倍を加え, $3$ 行目から $1$ 行目の $a$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & a & a-2 \end{pmatrix}$

$3$ 行目から $2$ 行目を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-4 \end{pmatrix}$

$a \gt 0$ であるから, $1$ 行目と $2$ 行目は $0$ でない成分を含むことがわかります。

よってこの行列の階数が $2$ である時, $3$ 行目の成分が全て $0$ になるので

$a-4=0$

すなわち $a=4$ となります。

$Q3$.
次の行列 $A$ が正則である時, $a$, $b$, $c$ はどのような関係にあるか答えなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$
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$c - ab \not=0$

$n$ 次の正方行列 $A$ に対し

$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ ${\rm rank}~A = n$

が成り立ちます。

$A$ は $2$ 次の行列なので, $A$ の階数が $2$ である条件を調べればよいことになります。

$2$ 行目から $1$ 行目の $b$ 倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & c - ab \end{pmatrix}$

$1$ 行目は $0$ でない成分を含むことから

${\rm rank}~A = 2 \Leftrightarrow c -ab\not=0$

であることがわかります。